使用两个体重秤减少体重测量误差

问题发现

故事是这样的, 我在PDD花20块大洋买了一个电子体重秤用于测体重, 使用一段时间后发现体重秤可能不准确, 同一时间多次测量每次读数都不相同. 于是又在PDD上花80大洋又买了一个小米牌体重秤, 经测试同样存在同一时间多次测量每次读数都不相同的问题. 于是我就考虑, 如何使用这两个劣质体重秤来获得更精确的读数.

结论如下:

市面的常用的体重秤都有约0.5~1kg的测量偏差, 为了测量更加精准, 我们可以用两个不同的体重秤分别测量再取平均的方式减少方差.

理论分析:

假设有两个正常的体重秤测量的结果基本准确, 但秤的本身存在一定的测量误差.

假设一定时间内的体重是不变的, 用秤A在测量体重时, 测量结果会落在一个高斯分布1上, 均值为$m_1$, 方差为$o_1^2$. 同样, 假设秤B在测量体重时, 读数会落在一个均值为 $m_2$ , 方差为$o_2^2$的高斯分布2上. 这里我们不失一般性的假设秤A的方差比秤B更少, 即$o_1^2<o_2^2$.

用两个不同的体重秤分别测量再取平均, 相当于两个高斯分布相加取平均, 那新的虚拟体重秤对体重测量的高斯分布的均值会是 $\frac{m_1+m_2}{2}$, 方差会是 $\frac{o_1^2+o_2^2}{4}$.

显然新的虚拟体重秤均值会是两个称的平均.

且当$o_1^2<3 \times o_2^2$时, 新的虚拟体重秤方差也会比两个秤都更少.

也就是说, 只要两个体重称的质量不要相差的离谱(3倍方差以上), 虚拟体重秤的测量结果都更优的.

进一步扩展

我们还有以下几种提升体重测量精度的方法:

方案一：加权平均（最优解）

多次测量进行统计得到方差.

根据方差倒数加权：

$X_{best} = \frac{\frac{X_A}{\sigma_A^2} + \frac{X_B}{\sigma_B^2}}{\frac{1}{\sigma_A^2} + \frac{1}{\sigma_B^2}}$

方差会降到：

$Var(X_{best}) = \frac{1}{\frac{1}{\sigma_A^2} + \frac{1}{\sigma_B^2}}$

比简单平均还更优。

方案二：多次测量再平均

每次站上去连测 3 次（AABBBA 顺序避免疲劳影响），取 6 个数的平均，方差再除以 6。

如果是土壕可以买更多体重秤.

方案三：校准系统偏差

第一天早上空腹固定姿势测 10 次，记录：

• 秤 A 平均偏高 0.6kg → 以后读数全部减 0.6
• 秤 B 平均偏低 0.3kg → 以后读数全部加 0.3

这样系统偏差也被干掉，只剩随机误差，平均后精度更高。

后记

最后问了一下gpt, 为什么电子体重秤有这么高的误差:

• 传感器是最便宜的应变片+HX711 芯片，24 位 ADC 但实际有效位数只有 14-16 位
• 没有温度补偿，屋里温度变化 2℃ 就漂 0.3kg
• 没有四角误差补偿，站姿稍偏就差 0.5kg
• 廉价算法直接四舍五入到 0.1kg，放大波动感